【專題報導】什麼!?傑克家恐有缺水危機——小小豆子的巨大影響

【專題報導】什麼!?傑克家恐有缺水危機——小小豆子的巨大影響

第三屆數感盃青少年數學寫作競賽

高中組專題報導類

優選《什麼傑克家恐有缺水危機小小豆子的巨大影響》彭士瑋、王郁豪/國立科學工業園區實驗高級中學

 



什麼!?傑克家恐有缺水危機——小小豆子的巨大影響

研究動機:

一般人看待一件新奇事物,最先關注的莫過於是其擁有的獨特優勢,俗話說「外來的 和尚會念經」,「不常見」在人們心中彷彿變成了「天下無敵」,舉凡灰姑娘的南瓜馬車、 哆啦 A 夢的任意門、哈利波特的掃帚……等,這些神奇的事物,在我們心中,早已產生了 無限的渴望與憧憬,但事實上,它們真如我們所想那樣十全十美嗎?

藉由討論「傑克與魔豆」這個家喻戶曉的主題,讓我們深入地去了解,美好事物背後可 能隱藏的重重危機。

 

壹、巨人不是住在雲上?

觀看故事本身,這樣的情節真是再好不過了:傑克用老乳牛換得了神奇的魔豆,藉由豆子的藤蔓爬上高空,不但拿回了一大袋金幣、一隻會生金蛋的母雞,和一把會唱歌的金豎 琴,最後還利用砍斷藤蔓摔死了壞巨人,真是可喜可賀啊!光是用乳牛換得財富這部分投資 報酬率就已高到破表,更何況還解決了惡勢力,成為天下大眾的英雄!多麼偉大的一顆豆子 啊!

不過,這麼大的一株豆苗,真不會為生活帶來什麼麻煩嗎?

我們先暫且不討論爬豆子容易摔落、大葉子掉下會砸傷人、遇颱風地震可能整株傾倒等 意外災害發生,假設一切皆順順利利,單就故事裡提到的那些情節,又會使傑克家埋藏著什 麼樣的隱憂呢?

我們可先從豆高開始下手探討。說到豆高,故事中僅描述魔豆「長到雲端」,這固然 是個懾人心扉的情景,但若運用到證明推導上,便顯得十分不明確。為了能有個精確的結 果,我們還是趕緊來算算豆子的實際高度吧!

一、假設

1.路程

先假設傑克以不受傷為前提可跳下之最大高度為 j,巨人可跳下之最大高度為 J,路程為 X,故事內為傑克先下魔豆,因此假設傑克先行之距離為 K。此時傑克需走的路程為 X-K-j, 巨人需走的路程為 X-J。

2.時間

(1)下豆莖所需的時間

下豆莖所需的時間為須走之距離除以速度,假設傑克的速度為v,巨人的速度為 V,因此 傑克下豆莖所需的時間為 ,巨人為

(2)砍莖所需之時間

假設砍一下之深度為l,砍的頻率為f,莖的直徑為L,因此砍莖所需之時間為(假設斧頭夠大)。

3.路程與最低高度及底角之關係

假設底角為θ(rad),莖所需之最低高度為 h,莖對地面正射影之圓半徑為R,莖一共繞N圈, 可得ℎ = 𝑋𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑁𝐿,以及2𝜋𝑅𝑁 = 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃,可推得𝑋 =⇒ ℎ =× 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑁𝐿 = 𝑁(2𝜋𝑅𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝐿)。

4.總結方程式,可得傑克所需的時間𝑡 =而巨人至著地所需之時間。為了順利摔死巨人,因此 t 必須小於 T,可推得方程式

故最大高度 H 為可發現最大高度與 R 無關

二、代入理想中之數值

1.現實中,人類在不受傷之前提下能跳下之最大高度約為 2m,我們假設傑克可跳下之最大高 度j = 2(m)。我們假設巨人之身材為傑克的 n 倍(意即體積、質量為傑克的𝑛倍),因為能跳 下之最大高度和關節、骨骼能承受之最大壓力有關,因此單位面積能受到的最大壓力應為定 值,假設傑克某一處所受到最大的壓力為 P,根據位移=1/2gt2可得此時傑克在空中停留之時間為,其中 g 為重力加速度,速度 v 為gt =2\sqrt{g}𝑔,此時該處受的壓力,其中 M 為某處上方之質量,m 為某處下方之質量,A 為某處之截面積。而巨人能跳之最大高度為 J,速度為V2,此時空中停留之時間為,此時巨人膝蓋 受的壓力為 (質量為𝑛 3倍,截面積為𝑛 2倍),因此n𝑣2 = 𝑣 ⇒ 2𝑛2𝐽𝑔 = 4𝑔,因此得,而理想中巨人為傑克之兩倍(n=2),所以

1.假設傑克先行之距離 K 為 50m,傑克速 v 為 1m/s,巨人速 V 為 0.9 m/s,砍莖一下之深度為 0.05m,砍莖之頻率 f 為1/3次/秒,莖的直徑 L 為 2m,底角 θ 為17𝜋/36(rad),而因為莖對地面之 正射影之圓半徑不影響,所以不假設 R,可求得最大高度

根據以上計算,我們可以發現魔豆實際只長了 1 公里左右,而對流層的平均頂高(也就 是雲頂)大約是 10 公里,因此除非那天烏雲濃厚,不然魔豆是絕不可能長上雲端的。

那麼,這就表示故事的情節塑造有所錯誤,而顛覆大家童年的想像,巨人就不是住在雲 端囉!那他會住在哪裡啊?由於這實在太離奇了,難以直接利用科學證明,我們就姑且當他 住在如同天空之城般懸浮於空中的小島吧!

貳、不見天日的恐懼

我們現在來想像一下,當你家上空 1 公里處漂浮著一座巨型島嶼,上面住著巨人(可能 不只一個,傑克還沒探索完全島,這說明了島嶼肯定非常巨大),而在這樣的情況下,小島 下方是否可能會產生出大片陰影呢?又或者是說,小島會吸收或反射掉大部分的陽光,使得 傑克家附近變得又冷又暗?

究竟陰影會有多大呢?

假設島東西向的長度為 x km,則陰影長度(東西向)為島長 +

( 因為(太陽直徑-島長)與(陰影長度-島長)相似 )

理想中,島的東西長度為 10 km,因此陰影長度

若島和地球上之物體是以同一個角速度行進的,則該島可遮住其下方一點之平均時間(s)為的地方假設地球繞著欲求之點轉(距中心點下 x,向右為正,欲使太陽照不到點,則仰角必須≥,右側仰角須≥,而因為太陽是以等角速度運行,因此時間為,又因前者未考慮太陽體積,所以應扣除非中心亦可照到欲求之點之情形,而角度為,時間為,即可推得無法被太陽光照到的時間(天)為

1 −,其中 H 為島和地表的距離,且假設地表為一平面、太陽繞著所測之點轉(地球半徑在地球與太陽之距離之前微不足道),舉例來說島的 中心的正下方無法被太陽光照到的時間為天。

由上述的推論可知,小島會對傑克家附近的氣候造成極大的影響。

1991 年菲律賓皮納圖博火山噴發,造成地表均溫一年內下降了約 0.5 ℃,雖然小島 的面積不至於大到能覆蓋全球,但陸地的光線吸收反射量還是遠比火山灰來得多。因 此,我們可以大膽推測,巨人的小島將會造成其下方產生一低溫區塊。

參、另一個蒙古高原?

地表上的風,是由氣壓梯度力所促成的空氣流動,風由高壓吹向低壓,而長時間的高壓 反氣旋便會形成冷高壓氣候區,此處氣候乾冷,風由內向外送出。

以上說明了冷高壓區的形成及特色,那我們再回頭看看傑克家吧!前面提到巨人小島的阻擋 使得該區氣溫較低,而區域外部溫度仍保持高溫,因此在這樣的情況下,傑克家容易形成一 個小範圍的冷高壓區,該區域乾燥少雨,而由於小島本身的阻擋和向外吹出的風,將會使傑 克家的雨量更加稀少,可能趨近於 0;另外,此處也將會有如同蒙古高原般的大量風沙向外 吹出。因此綜合上述,傑克家在不久後將會形成一個「乾燥、低溫 、風沙大的寒漠」!

肆、不斷下降的地平線

除了以上所述的氣候變遷,傑克那株巨大的魔豆更會有個普遍的問題—用水過量、地層 下陷!究竟魔豆長到 1 公里高後需要多少水量呢?

由於豆子最初是以極快的速度成長,而細胞分裂的速度並沒有那麼快,因此可以推測豆莖內 應全都是水。因此魔豆所吸收的水量約等於豆莖體積=截面積×長度=

結論:

整體而言,地層下陷、乾燥且降雨機率幾乎是 0,傑克如果住在都市也許還有自來水能 夠仰賴維生,但可憐的是,他住在鄉下,地下水與雨水是最主要的淡水資源來源。

看來傑克目前最好的選擇,大概就是種下所剩的那兩顆魔豆,全家一起搬進巨人的城堡 居住,這樣不但有豐沛的雨水可用,裏頭更有用不完的金銀珠寶可以爽爽過完餘生!不過, 還是記得多帶點衣服和毛毯吧,傑克!大氣高度每上升 1 公里就會下降 6.5 度,可不要著涼 了!

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