【專題報導】籃球員們的誇張進球-探討射籃時百發百中的可能性及影響因素

【專題報導】籃球員們的誇張進球-探討射籃時百發百中的可能性及影響因素

第三屆數感盃青少年數學寫作競賽

國中組專題報導類

優選《籃球員們的誇張進球-探討射籃時百發百中的可能性及影響因素》楊孟軒、李晉宇/新北市福和國中

 



籃球員們的誇張進球-探討射籃時百發百中的可能性及影響因素

一、研究動機:

以前爸爸回家、吃完晚飯後,總會打開電視,看看有沒有什麼精彩的籃球轉播,而我也從小就跟著爸爸一起看籃球。

有一次在影片中看到金州勇士隊的StephenCurry 在一場比賽中投進了 15 顆三分球,完全沒有失手,我便開始思考著:「NBA 裡面非常厲害的球員們真的都能夠在比賽時,像 Stephen Curry 一樣在完全不失手的情況下投進 15 顆三分球嗎?這是否也牽涉到了球員是否緊張、選手本身的身高及投球的距離和角度呢?」。因此,我便找了一個好朋友展開研究。

二、研究背景

先來看看「百發百中」這個成語,這個成語來自《史記》周本紀:「楚有養由基者,善射,去柳葉者百步而穿之,百發百中。」是在形容某個人射擊(投球)技藝高妙,彈無虛發。

但是,這個我們認為這個情況是不可能發生的,不過當我們看了 Curry 連投進 15 顆 3 分球,還是非常好奇有沒有任何一種情況可能使一個人成功的達成百發百中。

三、研究內容

我們利用各種不同的情況來分析球員們進球的影響因素。 (一)以在三分線上的投球角度及秒速來解析:

在投球時一定會由不同的角度出手,此方式我們要找出一個對應的角度及速率。投籃的弧度非常重要,根據統計,NBA 球員投出的三分球達到最高點時,平均在 4.8 米,三分球下墜時,角度基本保持-45 度到-46 度,而這也是最容易命中的角度。

(圖 1 來自 https://www.wired.com/2011/10/optimizing-a-basketball-shot/)

若用 V0 表示籃球出手速度,θ表示籃球初速度與水平方向的夾角,h 表示籃筐和出手點 之間的垂直高度,S 表示從投籃地點到籃筐的水平距離,t 表示時間,則有下式:

(註:此兩式來自 https://www.wired.com/2011/10/optimizing-a-basketball-shot/)

其中𝑉 假設為 8m/s;S 假設為標準的三分線到籃框距離 7.24m; h=標準籃框高度 3.05m,而我們假設球員身高為 2m,3.05m-2=1.05m。

我們可以得到:在三分線與籃框成一直線時,兩 者間的距離為 7.24m,因此所需的直線時間(t)是 7.24/8=0.905(s)。

帶入此式:

可得此表:
表 1:身高為 2 公尺的人在出手速度 8m/s 時,所需的最佳投球角度計算表

圖 2:籃球出手角度與入框角度對應圖

(註:https://www.wired.com/2011/10/optimizing-a-basketball-shot/)

由上圖 2 和上表 1 對照可發現,由 49 度的角度投出的籃框入射角為大約- 40 度,跟 Curry 的投球入射角非常相近。而在上一個式子中,我們算出了在身高為 2 公尺時,最佳發射角為 49 度,現在帶入下式,計算如果要在三分線上達到此發射角,需要的投出秒速。 帶入此式:

可得此表:
表 2:身高為 2 公尺的人在三分線投球時,以最佳出手角度所需的投球出手速率計算表

由上表 2 可發現,在三分線投的球如果要以 49 度的出手角投出,出手速率便要為 12.2m/s。 雖然 49 度的投球角度及 12.2m/s 的投球出手速率在三分線照理說是最佳的,但是如果在不同 角度及敵人防守強度的條件下還能漂亮的在每一球的三分投球中都以 49 度的投球角度及 12.2m/s 的出手速率來投球,那大概只能靠選手的臨場判斷及平時的苦練了。

(二)以球員身高來解析

而在籃球比賽中,眾所皆知最重要的就是身高。我們先來看看身高高在籃球比賽中有什麼優勢:

1.當手把球舉起來,防守人員根本碰不到

2.能在三分線擁有更好的視野

3.投球命中率比較高。

讓我們來看看為什麼身高高比較容易投進,首先因為拋物線角度越高,反作用力越大,

對關節、手指跟手臂的負擔就高,出手容易歪掉的機率也就高。

以 NBA 中最高的球員來說,身高大約 2.3 公尺,因此套到此公式中,h 便會等於 3.05- 2.3=0.75,

帶入此式:

可得此表:
表 3:身高為 2.3 公尺的人在出手速度 8m/s 時,所需的最佳投球角度計算表

由上表可發現,身高變高時,出手的角度就會變低,這是因為當身高較高時,如果還以較大的出手角度來投球,便有可能使球打到籃板,減少進球機率。

帶入下式,角度變為 46 度:

可得此表:

表 4:身高為 2.3 公尺的人在三分線投球時,以最佳出手角度所需的投球出手速率計算表

由上表可發現,因為身高變高、出手角度變小,投球時球與籃框的距離當然會比矮的人還要近,使投球速度變慢,而球速變慢,理所當然能更柔和地進入籃框,較容易進球。

 

四、結論

從上述的說明,我們可以知道投球出手角度 49 度且身高有 2m,達到這些條件便可以投球百發百中。那是否真的有可能達成百發百中?我們認為這還是不行的,因為人畢竟不是機器,人是有變數的:人總是會累,也會感到各種各式各樣的心理壓力,甚至每次投球的姿勢不盡相同;但機器可以利用程式完全訂定所有的角度、速率等等,達成百發百中。

因此我們認為如果真的想要像 Stephen Curry 百發百中,最好的方式還是靠平時的苦練及訓練臨場反應才較有可能達成。

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