【專題報導】一元二次方程式之「解法」~再進化了嗎!?

【專題報導】一元二次方程式之「解法」~再進化了嗎!?

第三屆數感盃青少年數學寫作競賽

國中組專題報導類

佳作《一元二次方程式之「解法」~再進化了嗎!?》王筑怡、粘瓅勻、王詠澤/彰化縣鹿鳴國中

 



一元二次方程式之「解法」~再進化了嗎!?

一元二次方程式之「解法」~再進化了嗎!? 
  
一、    研究動機 
     
2019 年中旬,美國華裔數學家羅博深提出了一元二次方程式的極簡解法。卻有許多專家學者提出質疑,認為這是抄襲古人的解法,而這也讓我們開始想深入研究了解所謂一元二次方程式的”極簡解法”以及它與”公式解”相比,究竟有何異同? 
 
二、    研究背景 
 
1.    探討極簡解法與公式解有何異同。 
2.    採樣進行施測,實際比較兩種方法之優異。 
3.    了解古代一元二次方程式之幾何解法。 
 
三、    研究過程 
 
I. 公式解與極簡解法之比較 
 
A.    計算方式: 
 

 
B.    比較: 
 
任何一元二次方程式     𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
  
同除以 a 得:             𝑥2 + \({𝑏\over a}\)  𝑥 +\({c\over a}\)=0 
即為極簡解法中的
又極簡解法中            𝑍2 = ( \({B\over -2}\) )2 − 𝐶
代入(1)式得:
\(Z = \pm{ \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
即是                           𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
𝑎𝑐 由公式解得:

  \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)   

 

即   \(Z = \pm{ \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
(    用 式子 來求 Z 值 → 好計算!   ) 
 
II.    採樣施測 
       實際了解公式解和極簡解法何者比較快,於是採樣彰化縣某國中一個
國三班級(共 23 人)進行施測。 
A.    施測題目 ( 共 15 題 ) : 


B.    施測結果:( 時間 ) 

C.    施測結果比較: 
      
    (1)極簡解法所用平均時間最短! 
 

解方程式平均時間相差了 1 分多鐘,「極簡解法」比「公式解」快速! 
     
 
 (2)比較「前 3 名」與「後 3 名」之時間: 
 

得到「極簡解法」比「公式解」所需時間整整相差了快 2 至 3 分鐘! 
 
III.    幾何解法: 
 
➢ 斯濤德方法:  𝑋2 − 𝑎𝑋 + 𝑏 = 0 ,以 a = −4、b = −10 為例 
 
       19 世紀德國數學家斯濤德(1798-1867)給了一個非常巧妙的一元二次方程式的幾何解法。 
 
在直角座標中取 A(\({𝑏\over a}\) ,0)、B( \({4 \over a}\) , 2)連接̅\(\overline{AB}\),與圓心為 C( 0,1)的單位圓,交於 D、E 兩點,將單位圓的頂點(𝑎) M ( 0,2)與點 D、E 分別連接,並延長,分別與 x 軸於 F( c,0)、G( d,0),則 c 與 d 就是方程式之解。 
 


 
➢ 卡萊爾方法: 
 
對於  𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 = 0  作一個以( 0,1)、( −b,𝑐)  為直徑兩端
點的圓,則 
 
1.    兩根:此圓 與 x 軸交於兩點,此兩點之 x 座標即為解。 
2.    重根:此圓此 x 軸相切於一點,此切點之 x 座標即為解。 
3.    虛根:此圓此 x 軸無交點。 

四、參考文獻 
1.    A Simple Proof of the Quadratic Formula( 作者 Po-Shen Loh∗ )  
(https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf 
 
2.    一元二次方程的幾何解法 
http://m.fx361.com/news/2019/0418/5028366.html 

近期活動

  • 敬請期待

近期課程

  • 敬請期待