【專題報導】經常趕時間的你,知道在手扶梯上行走沒效益嗎?

【專題報導】經常趕時間的你,知道在手扶梯上行走沒效益嗎?

第二屆數感盃青少年數學寫作競賽
高中組專題報導類
第3名《經常趕時間的你,知道在手扶梯上行走沒效益嗎?》陳俊宇/中崙高中

 



經常趕時間的你,知道在手扶梯上行走沒效益嗎?
 

  約翰是個上班族,他和女朋友約好在離大橋頭捷運站約500公尺的地方見面。

  早上醒來發現自己睡過頭,急忙趕往捷運站。下捷運之後,為了多節省一些時間,約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯,而是從電扶梯左側的走道跑上去。由於大橋頭捷運站的電扶梯很長,約翰走出捷運站時就有點喘了,原本想要一路跑到目的地的他,因氣喘如牛,跑跑停停的結果,最終還是遲到了,女朋友也十分生氣。

  約翰看似盡了全力,連在電扶梯上都用奔跑的方式想要節省時間,但結果卻仍是未能盡如人意,如此一來,「在電扶梯上跑或走」到底能否產生我們所預期的效益?還是其實在電扶梯上行走,根本是一件沒有效益的事情?是的, 在電扶梯上行走,確實沒有效益。

  何謂沒效益?

  為什麼在電扶梯上行走沒有效益?

  在回答這個問題之前,我們必須要先定義什麼是沒效益呢? 本文的沒效益,就是無法達到最省體力的方式。

  舉個例子,約翰要在固定的時間內,走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度,比較體力的消耗量(耗能)。如果在電扶梯以較快的速度行走,消耗的體力較小,代表在電扶梯行走較有效益,反之則沒效益。

  證明在電扶梯上⾏走是否有效益

  為了證明「在手扶梯上行走沒效益」,我製作了上圖的模擬情境。接著,我要求出「⼈行走的耗能函數」(這邊的耗能為消耗體力的量)。計算在固定時間內,當耗能最⼩時,約翰在平地與電扶梯行走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度行走,才會有耗能最小。這樣就可以看出看電扶梯上行走是否有效益。

  首先,我們的目標是求出人類走路的耗能函數。⽽耗能=功率時間

\(E = P(v) × t\)

  這個公式怎麼用呢?以燈泡作為例⼦。一個功率100W的燈泡,使⽤20秒,他的耗能就是2000焦耳。

\(E = 100 × 20 = 2000(J )\)

  同樣的道理,只要知道⼈行走的功率函數,就能透過「耗能=功率×時間」算出耗能。⽽人在平地行走的功率函數大致呈指數函數(原因請看結尾),為了簡化推導的過程,這邊就⽤\(P(v) = 2^v\)代替。

  在知道了⼈在平地行走的功率函數後,讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜,讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

  在平地⾏走的耗能函數

  我們先來計算約翰在平地(ground)以速度\(V_g\)走100公尺的耗能函數。
  約翰行走的耗能函數為「耗能=功率╳時間」

\(E(v_g) = P(v_g) × t_g\)

  其中平地距離\(L=100\)公尺,且「距離=速度╳時間」

\(L = 100 = v × t\)

  經過推導後,可得耗能函數

\(E(v_g) = P(v_g) × {100 \over v_g}\)

  這個公式要如何使⽤呢?這邊實際帶入數字看看。

  如果以速度\(V_g = 1\)前進,耗能為\(E = 2^1 × {100 \over 1}= 200\)

  如果以速度\(V_g = 4\)前進,耗能為\(E = 2^4 × {100 \over 4}= 400\)

 

  在電扶梯⾏走的耗能函數

  接著,我們來計算約翰在電扶梯(escalator)以速度\(V_e\)走100公尺的耗能函數。為了簡化計算,我將上下樓梯的電扶梯改成平地電扶梯,且電扶梯本⾝的速度\(V_E = 1\)

  約翰走路的耗能函數\(E(v_e)\)為「耗能=功率╳時間」

\(E(v_e) = P(v_e) × t_e\)

  ⽽約翰⾏走的耗能功率函數\(P(v_e)\)

\(P(v_g) = 2^{v_g}\)

  其中電扶梯距離\(L=100\)公尺,而約翰的總速度為「約翰在電扶梯⾏走速度+電扶梯本身的速度」,且「距離=速度╳時間」

  經過推導後,可得耗能函數

  模擬情境的耗能函數
  接著就正式來了。

  約翰以速度\(V_g\)走完100公尺的平地,再以速度\(V_e\)走完100公尺的電扶梯,電扶梯本⾝速度\(V_E = 1\)。耗能函數為

  由於變數太多,⾸先我們先限定要在30秒(\(t = t_g + t_e = 30\))內走完全程,並且將\(V_g\)替換成\(V_e\)。替換公式為

  經推導後,可得耗能函數

  接著,利用繪圖軟體畫出函數圖形

 

  從函數圖形可知,在D點時有最⼩耗能,且此時約翰在電扶梯⾏走速度\(v_e = 6.08\),在平地⾏走速度\(v_g = 6.3\)。也就是說,在限定時間\(t = 30\)的情況下,\(v_g > v_e\)時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度⾏走比較有效益。

 

  改變總時間看變化

  剛剛是用總時間\(t = 30\)來做模擬,為了更廣義的證明,我們將總時間t值進⾏改變,結果如下圖。

 

  發現在所有情況下,當約翰在平地行走速度⼤於電扶梯行走速度(\(v_g > v_e\))時,有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益,⽽在電扶梯上行走沒有效益。

  並且在總時間t越長時,這個現象更加明顯。

 

  在電扶梯上⾏走變相「減少了待在電扶梯上的時間」

  在賴以威老師執筆的「超展開數學約會」有對這個現象作出解釋。
  賴以威老師表示,會造成這樣的結果,是因為在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」。你每停留在電扶梯上一秒,電扶梯會推你往前1公尺。如果電扶梯上不動,電扶梯便會幫你走完電扶梯的全程。
  所以下次在體⼒有限的情況下,最好在電扶梯上休息,等到了平地再進行衝刺,好好利用電扶梯給你的效益。當然,如果目的地離捷運站不遠,⽽你的體力⼜足夠,你便可以⼀路衝刺到底。

  ⼈行走的耗能功率函數推導

  我使⽤『106年全國大專校院⽥徑公開賽-各項參賽名單暨參考成績』,裡⾯大專男子200m,400m,800m,1500m,5000m,10000m的成績。
  我假設⼀般⼈行走的耗能功率函數的趨勢與運動員相似。當運動員跑完全程後,體⼒用盡,體⼒是1個單位。時間t用比賽第一名與最後⼀名的平均時間,且功率

\(P(v) ={E \over t} = {1\over t}\)

  使⽤Excel將座標(速度,功率)\(= (v, P(v))\)點上。發現函數圖形接近指數函數

\(P(v) = 2 × 10^{−5} × e^{0.88v}\)

  本⽂的推導只要耗能功率函數的趨勢,於是使⽤指數函數\(P(v) = 2^v\)代替。

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