【專題報導】身處冰天雪地中 長袖一揮現高樓

【專題報導】身處冰天雪地中 長袖一揮現高樓

第三屆數感盃青少年數學寫作競賽

高中組專題報導類

優選《身處冰天雪地中 長袖一揮現高樓》蔡丞彥、廖鉑涵、侯奕安/國立科學工業園區實驗高級中學

 



身處冰天雪地中 長袖一揮現高樓

一、研究動機

近日《冰雪奇緣二》上映,締造全球好口碑,片中的特效更是讓人津津樂道。其中第一集的經典畫面,冰雪女王艾沙一邊悠悠哉哉的唱歌,一邊揮舞雙手,就蓋出了一座巨大的冰城堡,她愉悅的表情讓人狐疑:為什麼看起來這麼輕鬆?於是我們就開始研究:以冰蓋出如此大的建築物究竟要多大的能量?而艾莎本人在這種情況下又會發生什麼事?

二、背景介紹

在《冰雪奇緣》第一集中,艾莎不小心在舞會上展現了自己的超能力,也讓大家認為他是怪物並招來士兵要將其抓捕至獄中,不得已的艾莎只能拔腿就跑。在逃跑的過程中,他來到一座山腳下,在被士兵逼急後為發洩壓抑已久的自卑感和煩躁,艾莎一邊高聲唱出名曲〈Let It Go〉,象徵把自己的過去和煩惱都拋在腦後,一邊用魔法蓋出了一座壯麗的冰宮。

三、過程與結果

一開始,她先造出了一個雪花形的底座,如圖一:

根據官方角色設定,艾莎身高五呎四吋,約為 1.6 公尺。

我們測量班上身高 1.6 公尺的同學張腳(與肩同寬)的平均值約為 40 公分。圖中底座的圖一 2 半徑為艾莎張開腳的 37.5 倍,由比例運算得底面半徑約 15 公尺。

接著艾莎將底座向上抬升。而根據圖二,知道冰的厚度約為艾莎身高的 1.8 倍,故可估計冰的厚度約 2.9 公尺。

最後,她建好了整座城堡。在圖三中,中央窗口站的(超級小的)人即是艾莎,城堡高度為人形的 262.5 倍,可估計城堡高度約為 420 公尺高。為方便計算,我們可以假設城堡為一圓錐,其各處的冰層厚度都相同。其體積為整體(大圓錐體積)內部空心(小圓錐體積)。(如圖四)

外部半徑為 15 公尺,高度為 420 公尺;內部的半徑即外部半徑減去冰層厚度=15-2.9=12.1 公尺。同理,內部的高 度即外部高度減去冰層厚度(上下皆有)=420-2.9*2=414.2 公尺

而城堡的體積

\(\pi\)=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 代入計算後約等於 35456m3,又冰的密度為 0.92g/cm3 ,城堡質量為

水的汽化熱為 540cal/g、水的熔化熱為 80cal/g,冰的比熱為 0.55cal/ C。根據官方設定,艾莎所處之艾倫戴亞王國(Arendelle Kingdom)的藍圖是根據一挪威城邦所建立,挪威冬日的日均溫約為-3.5C。由於在該場景已有積雪出現,假設當時空氣中水滴的溫度為 0C。將一克的0C水降溫成-3.5C的冰大約需要

540+80+0.55*3.5=621.925cal

故形成一城堡所放出的熱量:

3.262*1010g*621.925cal/g=2.0287*1013cal

假設這些全部的熱能皆為艾莎吸收(畢竟他是施術者)又

(假設艾莎體重50kg,人的比熱約為0.8cal/gC)

因此我們得知,原來艾莎為了蓋一座冰宮,會使自己上升到五億七百萬攝氏溫度!這絕對不只是身體會變成電漿態這麼簡單。要知道,太陽的核心溫度也才 1360 萬度,艾莎足足是它的 37 倍有餘。燃燒自己的身軀,在懸崖間建立一座座華麗的橋樑,堆起一幢雄偉的塔樓,只為了給被逼入絕地的自己增添一點點生活的樂趣。一片潔白的雪地中,矗立著晶瑩剔透的冰宮,一位冰冷高艷(同時也「熱情如火」)的女王居高臨下的鳥瞰整片平原和眼前冉冉升起的夕陽,如此富有詩意的場景與人物,果然是童話故事裡才有的情節。

等等我們是不是忘了什麼?

喔對,艾莎吸收的,20億2870萬卡的熱量。要是你覺得這些能量不怎麼誇張的話,我們再舉一些例子吧!

四、延伸討論與想像

上面的結論得出艾莎共吸收了2.0287*1013cal=9.2765*1013焦耳的能量。現在,假如艾莎從他的好朋友精靈(圖五)那邊得到了一個魔法機器,能夠把這些能量完全吸收並儲存,再看看他要用在什麼地方。艾莎高興極了!馬上拿起他隨身攜帶的紙筆跟普通物理課本來發揮他的想像力。

艾莎一開始想到的就是報復把他視為怪物的艾倫戴爾王國,想把它清除的一滴不剩。首先,一公斤的 TNT 炸藥爆炸所釋放的能量約為 460 萬焦耳。魔法機器中的能量約等於:

也就是說,艾莎吸收的能量足以媲美 20166 公噸的黃色炸藥同時爆炸所放出的能量,其爆炸威力可以將 441 萬輛汽車炸毀;同時也等於 8820 枚戰斧飛彈或半顆廣島原子彈的威力。所以幸好艾莎的能力是製造冰雪,而不是製造軍火之類的,不然艾倫戴爾應該不會 在世界地圖上待太久。

接著艾莎轉念一想,腦中浮現了他子民純樸的模樣:在仲夏節晚會上一同跳舞的碼頭工人、每天幫他煮三餐的親切廚子、禮拜二早晨固定經過城堡旁的送報女孩,以及他最親愛的妹妹安娜。他覺得還是把這些能量用在更有意義的地方好了,像是發電之類的。他動筆計算一下,那些能量可以轉換成9.2765*1013/(3.6*106)=2.5768*107(度電)

而台灣每戶每月平均用電量約為 303 度,則這些能量可供台灣住戶使用

2.5768*107/303=85043月=7087年

差不多是 70 個世紀這麼久,環保人士一定會非常開心。

台灣在四座核能電廠運作下,每年可以產生 215.6 億度電,每分鐘可產出

在影片中艾莎只花了一分半的時間來造出該棟城堡,所以艾莎的發電量大概是等於2.5768*107/1.5/10000=1718。1718 座核電廠同時運轉的發電量,而全球也僅有 450 間商轉核電廠而已。

目前全球總發電量有10%來自於核能發電,所以如果艾莎能夠持續施放他的魔法,那麼把他吸收的熱持續不斷的轉換成電力,她的發電量將占全球的1718/450*10%=38.1%,非常逼近燃煤發電所佔的比例(39.3%),若將「艾莎發電廠」完全取代燃煤發電廠的話,那全世界每年的碳排量將大幅下降 100 億公噸,這代表著什麼?代表全球碳排量的 28%!若全部換成由艾莎來發電的話,就能夠大幅抑制現今全球暖化的幅度了,環保主義者就要來膜拜偉大的艾莎了。

想到人民不愁沒電用也不用再付電費,國家經濟狀況勢必上升,艾莎欣慰的笑了。但他的腦子又浮現了欺騙他妹妹的渣男兼惡棍漢斯王子,心中的復仇心也漸漸燃起。一向善良的他決定幫漢斯準備世界上最舒服的三溫暖,加熱到他的能量用完為止。「好心」的艾莎幫漢斯準備了一個10*10*3 (公尺)的舒服墳墓……呃我是說浴室,裡面依照標準芬蘭浴的規格填滿了濕度 15%的空氣(圖六),接下來就可以開始加熱了。

首先,空氣的比熱公式為 C=1.005+1.88H(單位為焦耳/克),H 為絕對溼度。濕度 15%的空氣比熱=1.005+1.88*0.15=1.287J/g(由於溫度上升空氣的飽和溼度也會上升,對比熱不會有任何影響。)空氣密度為1.293*10-3g/cm3,這浴室有1000*1000*300*1.293*10-3=387900g的空氣。

假設漢斯的體重為 80kg,人的比熱約為0.8cal/gC=3.36J/gC,要使 室中的空氣及邪惡的漢斯上升一度需要3.36*80000+387900*1.287=768027J複習一下,艾莎現在有 9.2765*1013J的能量。所以這舒服的三溫暖可以加熱到:

嗯,一億兩千萬度。雖然跟尊貴的艾莎女王五億七百萬度比不算什麼,但三溫暖結束後漢斯也差不多全熟了,真是大快人心啊!

五、結語

從這篇文章的運算及推理,我們歸納出了艾莎用來蓋冰宮的的9.2765*1013J能量可以做到什麼驚人的事情:

(一)讓艾莎上升到五億七百萬度

(二)轉化為 8840 枚戰斧飛彈好好「款待」艾倫戴爾王國

(三)供應 7087 年的電力

(四)取代全球的燃煤發電廠

(五)每年減少 100 億公噸的二氧化碳排放量

(六)讓漢斯享受舒服的一億兩千萬度的三溫暖

或許這篇文章的空想與演算並沒有實際意義,但在思考的過程中我們都充分的運用了許多物理知識,也對最後的結果嘖嘖稱奇,同時放聲大笑。科學就是如此的有趣,過多的理性和僵化不一定有正面的影響,而能夠為生活帶來歡笑並豐富我們一生的,才是科普的樂趣所在。

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