【專題報導】用數學分析龜兔賽跑-烏龜獲勝的秘訣

【專題報導】用數學分析龜兔賽跑-烏龜獲勝的秘訣

第三屆數感盃青少年數學寫作競賽

高中組專題報導類

佳作《用數學分析龜兔賽跑-烏龜獲勝的秘訣》徐藝瑄、邱婷、陳子玄/和平高中

 



用數學分析龜兔賽跑-烏龜獲勝的秘訣

      童話故事陪伴我們度過童年,為我們帶來歡笑、快樂,為我們的生活增添了色彩,隨著我們逐漸成長,童話故事成為了我們心中永存而美好的回憶。同時,也在我們成長過程中為帶來了許多啟示,引領我們走上正確的道路。龜兔賽跑是著名的《伊索寓言》中的故事之一,這故事告訴我們:只要有毅力、永不放棄,就能成功。但是隨著我們成長的同時,也讓我們不禁深入思考整個故事的發展,到底為什麼結局會這麼出乎意料呢?烏龜與兔子兩者速度懸殊,兔子明明跑得如此快,為何而輸了比賽,又烏龜到底憑藉什麼本事,能在這場比賽中獲得最終勝利呢?

 

      故事中的兔子嘲笑烏龜跑得比他慢,而烏龜卻有志氣地反駁,認為自己總有一天會超越,於是,兔子提議乾脆來場比賽。但比賽的過程中,驕傲的兔子自以為勝券在握竟中途睡著了,靠著毅力努力爬的烏龜反而獲得了最終勝利。然而,故事中的烏龜,是因為被嘲笑一時氣憤才參賽嗎?還是其實他早已算計好了呢?

 

      烏龜明知道自己跑得慢,卻仍然要反駁兔子,代表他是容易受挑釁的嗎?不,我們認為,烏龜並不是沉不住氣,那他為何要反駁呢?我們推測是因為他做了功課後深知兔子的弱點,也就是說,這場比賽,烏龜是經過精密的數學計算與計畫,才終能獲得了勝利。

 

      兔子跑得的確很快,但他有一個致命弱點──他是白天睡覺,晚上活動的夜行性動物,儘管是「短跑」好手,但跑長距離時,會因體力不支而昏睡。

 

      烏龜看準這一點,必定不會選擇100m短跑之類的比賽,而會選擇長跑。但是兔子難道不知道自己白天會想睡覺的弱點嗎?聰明的烏龜為了讓兔子答應在白天比賽,於是先滿足兔子的虛榮心,及兔子自負的心態,說服兔子比賽在白天舉行將會有很多動物前來觀看與歡呼,這也讓兔子不疑有他地同意參加這場在白天舉行的長跑賽。

 

      常見的長跑有5公里與10公里兩種,折衷之後這場比賽的距離定為8km,且因白天是兔子的睡覺時間,加上長距離比賽之故,他一睡就得睡滿8.4小時。

 

      我們假設烏龜速度1km/小時(烏龜最快可跑1km/小時)因為兔子很驕傲,所以他會先以最慢的速度60km/小時(野兔速度為60~80km/小時),邊跑邊接受場邊觀眾歡呼。

8 km/1 km=8 (小時)

8 km/60 km=2/15(小時)

       藉由上述推算可知,假使在8km的情況下,烏龜要跑完全程得花8小時左右,而兔子則需花2/15小時(即8分鐘) 左右。但兔子一天至少要睡42/5小時左右,所以他至少需要花42/5+2/15=128/15小時(即8小時又32分鐘)才能跑完全程,看起來烏龜似乎穩贏了。但烏龜並無法一路保持最快的速度衝刺,當他累了時,速度會下降為0.5 km/小時。那問題來了,烏龜必須先用1km/小時的速度跑多遠,再放慢速度,才不會被追上?

  已知兔子跑步加上睡覺時間總共需花128/15小時才能到達終點,於是我們先假設兔子在起點時就睡覺。

  設烏龜以時速1km的速度所走的距離為X,以時速0.5 km行走的距離即為8-X

 

      又烏龜以最快速行走的時間和減速後行走的時間總和,必須小於免子所需花的時間128/15小時,才能贏得比賽。

 

      於是可得x/1+(8-x)/0.5=2(8-x)=16-x<128/15,解得x>112/15公里(約7.47公里)。至少要過了112/15公里(約7.47公里)處才能放慢速度,因此答案為距離終點8-112/15=8/15公里處(約0.53公里)。

 

      烏龜依據計劃,在前7.47公里時保持時速1(公里/小時),並在過了7.47公里之後,將時速放慢為0.5(公里/小時)。而兔子猛然醒來後(不睡滿42/5小時的情況下),發現烏龜反而領先了,於是他改以最快的速度80(公里/小時)追趕,那麼烏龜必需領先兔子幾公里才不會被反超。

       若兔子在起點開始睡覺,醒來後開始加速,則他需花8/80=0.1小時才能抵達終點。而這時烏龜正以0.5(公里/小時)的速度行走,他在這0.1小時內能行走0.05公里,也就是距離起點8-0.05=7.95公里處。

       因此,若兔子在烏龜抵達7.95公里處醒來,並開始追趕,則兩人會同時抵達終點。也就是說兔子醒來時前,烏龜行走的距離必須超過7.95公里,才不會讓兔子反超。

 

       若兔子仍然想睡滿8.4小時,但之後如果將以最快的速度80(公里/小時)追趕,體力可能會不支,所以打算改成一開始先以50km/小時速度跑,之後再以70(公里/小時)追趕,來確保體力贏得勝利,則他必須先跑多遠才開始睡覺,醒來之後才有機會反超呢?

 

      我們設兔子在距離起點X公里處睡覺,也就是兔子先以50(公里/小時)的速度跑了X公里後,睡了8.4小時後醒來,再以70(公里/小時)的速度跑了8-X公里。 

 

       兔子若想反超烏龜,他以50(公里/小時)和70(公里/小時)所花的時間,加上睡覺時間必須小於烏龜所花的時間128/15小時。

 

       於是可得x/50+8.4+(8-x)/70<128/15,解得x<10/3。因此,兔子為求保險、百分之百獲勝,至少要在距離起點10/3公里處之前的地方睡覺,醒來才有機會反敗為勝超越烏龜,因此答案是距離終點14/3公里之前。

 

       龜兔賽跑只是虛擬的故事,我們分析完真實的兔子與烏龜的相關數據之後,也可以利用虛擬的遊戲角色-寶可夢中的壺壺龜和掘掘兔-來作推算。

 

       假設掘掘兔和壺壺龜比的是正式馬拉松(大約為42km)壺壺龜的速度為5km/小時,掘掘兔則為57km/小時,因此可得:

42/5 =42/5小時

42/57 =14/19小時

      藉由上述推算可知,假使在42km的情況下,壺壺龜要跑完全程要花42/5=8.4小時左右,掘掘兔要花14/19小時左右,而掘掘兔一天至少要睡126/15小時左右,所以126/15+14/19=868/95,也就是掘掘兔至少要花868/95小時才能跑完,所以贏家就是壺壺龜了。但壺壺龜並無法全程以最快速度行走,所以我們假設壺壺龜先以每小時3公里的速度跑,那壺壺龜應該在距離終點多遠時(最低限度)時加快速度,上升為每小時5公里才不會被追上?

 

      已知掘掘兔加上睡覺時間,至少需花868/95小時才能抵達終點,而壺壺龜一開始先以最低速度(3km/hr)起步,之後才加速到最快速度(5km/hr)。

      我們設X為壺壺龜以最低速度行走到的距離,則以加速後行走的距離為42-X。

      也就是以最低速度行走的時間加上加速後行走的時間至少要小於868/95小時才有可能贏過掘掘兔。

x/3+42-x/5<868/95(公里)

兩邊同乘15得5x+126-3x<2604/19

解得x<105/9

      壺壺龜在走到105/19公里之前就必須加速,

      因此答案為在距離終點105/19公里之前就必須加快速度。

 

      那假使(在壺壺龜放慢速度的情況下,在距離105/19終點公里前他的速度為3公里/小時,但從105/19公里至42公里將速度增加為5公里/小時)掘掘兔在醒來時,發現壺壺龜比他快,受到刺激,於是進化成了掘地兔,改以最快速度78 km/小時追趕,掘掘兔醒來時和壺壺龜至少要相距幾公里,才能使壺壺龜依然是贏家呢?!

 

  若兔子在起點開始睡覺,醒來後開始加速,則他需花7/13小時才能抵達終點。而這時烏龜正以5(公里/小時)的速度行走,他在這7/13小時內能行走35/13公里,也就是距離起點42-35/13=511/13公里處。

      因此,若兔子在烏龜抵達511/13公里處醒來,並開始追趕,則兩人會同時抵達終點。也就是說兔子醒來時前,烏龜行走的距離必須超過511/13公里,才不會讓兔子反超。

 

      經過這次的推測與數學計算,我們認為烏龜勝利的關鍵在於他的毅力以及智慧,堅持固然重要,但想要成功,還需要有顆數學腦與思考能力。數學這門學問不但可以幫助我們看清渾沌不明的情勢、設計出縝密的計畫,也可幫助我們彌補缺點。就像故事中的烏龜,利用數學精心計算,彌補了自己速度慢的不足,化不可能為可能,最終贏得了勝利,並讓我們永遠銘記。

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