【專題報導】突破重「圍」一場警察與逃犯的棋盤追逐

【專題報導】突破重「圍」一場警察與逃犯的棋盤追逐

第一屆數感盃青少年數學寫作競賽
高中組專題報導類
第1名《突破重「圍」一場警察與逃犯的棋盤追逐》陳冠伊、柯喻朦、陳品彤/北一女中

 



突破重「圍」一場警察與逃犯的棋盤追逐

  2010 年上映的電影 <關鍵救援 72 小時 >,由羅素克洛 (Russell Crowe) 飾演的男主角 John,為了 拯救被無辜關入大牢中的愛妻,從一位文質彬彬、溫和善良學教授想出劫獄的計畫,只因為他始終相信自己心愛的妻子是被冤枉的!原本有點懦弱的John ,開始著手準備計畫逃亡路線,籌措資金,觀察監獄地形。一開始他將自己上網看影片學做來打開監獄大鎖的陽春鑰匙,因為緊張到發抖而折彎,他跟黑幫混混們打交道,卻被打得渾身是傷,但後來他漸漸的轉變,他誤殺了幾個人,搶了錢,但他知道這些都是為自由與愛。看著John的轉變,以及善良與使命的矛盾內心戲,更是將電影一次又一次推到高潮!其中重要的一個片段,就是 John第一次開始著手準備劫獄計畫,向由連恩尼遜飾演的有名逃獄專家請教逃獄時該注意的事項了!

  這個片段迷人的不只是連恩尼遜帥氣的低沉嗓音,更是讓我們對封鎖域大開眼界。電影中敘述只要 15 分鐘警方即可封鎖匹茲堡市中心, 35 分鐘內所有洲際收費站都會有警察站崗,二級公路還會開始進行管制! John在地圖上以市中心為圓心畫了一圓 ,此即為警方可封鎖的範圍,在這個封域的範圍下,誰都難逃警方的法網只能乖乖束手就擒!

  於是這引起我們的好奇,匹茲堡這麼大,警察到底手腳要多快,才能避免飆車中的John在圍好封鎖域前就逃出呢 ?

  首先我們得知道匹茲堡到底有多大,經過查詢資料,匹茲堡所在的都會區約為 10000 平方公里,以此為圓面積所做出來的圓,半徑為56.42公里。 ( 在此取 56 以方便計算 ) 而封鎖域的總長度,也就是圓周長,則是351.85公里。假設以John 出發的點為圓心,做一個半徑為 56 公里的圓,這就是警方的封鎖域。 John從圓心到達封鎖域的邊界,最短距離為 56 公里。他必須在警方封鎖之前的 35 分鐘內逃出去遠走高飛,才不會被警察一槍斃命!因此John 在不碰到任何建築物及阻礙物還有剛好天助般的都是綠燈,並且有條剛好就是半徑的馬路可以讓他在市區內盡情飆車的情況下,他的最大速率為 56(35/60) = 96公里 /小時。

  接著我們搜尋了匹茲堡的警力狀況,查詢匹茲堡警察局網站顯示目前約有 900 位警力, 以 9人為一小組,共有 100 組,而他們要在 35 分鐘內就將自己的轄區圍得天衣無縫!如此 一來,一分鐘內總共得圍好 351.85÷35= 10.05公里,每一組則須完成 10 公里÷100 組=0.1公里,也就是 100 公尺,一個人一分鐘則須圍好 11.1 公尺。若是像臺灣的凱達格蘭大道一樣, 每次有重大事件總是用拒馬圍得密不透風,一分鐘把這麼重的拒馬和鐵欄擺好 11.1公尺,實在是有點困難啊!

  以 John有最大速度 96 公里 /小時,並且不外調人員,總共只有 900 位警力負責封鎖的狀況下,況下,要能及時圍住整個封鎖域的範圍是極具挑戰性的。因此,我們開始思考是否有什麼策略,能提供警方一個在最短時間內,一定能圍住 John的方法呢?

  查詢了許多資料以後,我們找到一篇提供我們策略構想的數學論文: The Angel Problem(引注資料 [1]) [1]) , 由 John H. Conway (沒錯也是John ,但此 John非佊男主角的 John) 於 1996 年發表。這篇論文主要在研究天使問題,這是一個雙人遊戲,而遊戲規則是:

  在一個無限大的棋盤上,有一個惡魔跟一個天使,棋盤一開始是空的。開始遊戲後,天使在每一輪都可以移動最多 K步(遊戲開始前先設定好的, 稱之為天使的力量 ),在這 K步中, 橫的直斜都算一步,而且天使可以飛越過惡魔設置的路障,但是最後必須停留在沒有路障的格子內,而惡魔每一輪只可以選一個格子設置路障,但不 能設在天使停留的那個格子。最後,如果天使無法再移動時,就代表惡魔贏了,相反的,如果天使可以無限移動的話,則代表天使贏了。

  康威在他的論文中,所假設情境是:每次只能移動一格的惡魔,否有機會可以困住天使的力量為 1000 的天使呢?這看起來是不可行的,但康威提出了在一些在假設的條件下,惡魔能夠以區區的一步,困住飛 1000 步的天使!有趣的是,康威甚至在論文的最後,提出懸賞 1000 美金,給能夠找到證明惡魔可以困住力量為任意數 (但不能為無限大 ) 的天使的人!

  我們運用了康威假設的其中一個情境方法來發想,是否一樣能應用在警察和逃亡中的John 這個情境中呢?

  康威假設有個 Fool Angel,他只能不斷的往上飛,增加y座標,此時惡魔將會有必勝的方法圍住天使。起始點為 P,由於不浪費步數,因此他的飛行範圍介通過 P點,兩條斜率為 ±1/1000的邊界內。則惡魔必勝策略為:圍住一條與起始點足夠大距離 (H=1000x2N)的邊 AB ,並在開始時每 M格放一路障,在天使達到距AB 邊
1/2H距離的點 Q時,惡魔已經完成在AB線段以M為間隔的路障擺設。當天使在點Q時, CD 邊正好是 AB 邊的一半,而同樣的,惡魔也在 CD 邊上,每 M格放一路障,當天使抵達了距離 AB 邊1/4H距離的R點時,惡魔已完成 CD 線段。如此一來,當天使飛到了距離 AB 邊H'=2-MH距離的點時,惡魔已經在 AB 線段上的每一格放滿了路障。若 H為 1000x2N,1000 為天使和惡魔的速度比值,且 N>1000M ,則在天使跨越距離 AB 線段 1000 單位距離時,惡魔早已在這條水平線和 AB 線段間的任何天使有可能到達的格子內,放滿了路障!

  有了康威的天使遊戲做為參考, 在我們所設定情境裡,H為警方封鎖域的半徑 56 公里。我們可以將天使的力量想像為 John的最大速率 96 公里 /小時,惡魔可以走的步數則是警察每分鐘的封路速度 0.1公里 /小時。代入康威所提供的算式H=1000x2N中,我們姑且將 56 公里取為2的整數次方倍 64 公里較方便計算, John和警察的速率比為 960 公里 /小時,相當 於 16 公里 /分鐘,因此計算結果為:

64= 16x2N

N=2 且 N>16M , 經過計算可知,M為 1/8 公里,相當於 125 公尺。

  也就是說,若匹茲堡的警察們,比照康威所提供方法,每 125 公尺就設置一個路障, 待 JohnJohn 到下一點時, 再從對應到的水平線距離兩端繼續往內圍,如此一來,John 勢必將被團圍住在封鎖域中,無法逃之夭夭!

  雖然電影的最後, John當然是突破重圍歷經難關,帶著妻兒離開了美國展新生活,但是若有下一位逃犯,我們想匹茲堡的警察一定能將我們所提供封鎖域策略派上用場的。

  當 John向連恩尼遜請教逃獄方法時,連恩尼遜最後問John ,在著手準備逃獄前,比所有方法都還更重要的是,你真的覺得自己做得到嗎?

  看似不可能圍住天使的惡魔,原來也能圍住比自己擁有還要強大許多力量的天使;看似不可能在短時間內就將 10000平方公里大的都會區圍得密不透風,經過我們的推理計算,原來也有絕佳的保證策略能夠達成目標;看似不可能做出瘋狂逃獄計畫的溫和大學教授,為了愛為了自由,甚至為了正義,在John的轉變中,我們看著他一步步,將不可能轉化為可能。

  只要我們相信,我們做得到。

引注資料[1]: John H. Conway(1996). The Angel Problem

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