數感生活--讓掃地機器人不偷懶的數學

數感生活--讓掃地機器人不偷懶的數學

掃地機器人省去做家事的時間精力,是許多家庭不可或缺的成員(某些時候重要性不亞於小孩)。初代掃地機器人是圓盤狀,靠著底部轉輪移動吸塵。相較三角形或正方形,少了許多磕磕碰碰,移動更自在。

不過因為是圓的,在夾角縫隙沒辦法「探入」,造成了一些掃地死角。

這個問題可以靠「勒洛三角形(Reuleaux triangle)」來解決!

 



勒洛三角形的作法如下:畫正三角形,將三頂點分別當作圓心,三角形邊長為半徑,各自畫一個圓,與三個頂點相交的圓弧線,即構成勒洛三角形這個圓胖胖的「偽三角形」。
 
勒洛三角形的特殊性質是——轉動時寬度固定(簡稱「定寬」)。圓形轉動時,可以畫出上下兩條與圓相切的平行線,這兩條線始終保持圓形直徑的寬度,而這個特質就是所謂的定寬。
勒洛三角形也能在兩條平行線中旋轉,永遠保持跟上下兩條線段相切。因為每次旋轉碰觸到上下兩條線段的,都是某條弧與對應的圓心。
相較之下,一般的三角形、四邊形沒有定寬的特性。
 
基於定寬性質,將圓和勒洛三角形分別放進與上下邊相切的正方形,兩者都可以在正方形中穩定轉動。接下來,神奇的事發生了:
單位圓在單位正方形中旋轉,它的軌跡是單位圓面積 \(π/4(0.7854)\)
勒洛三角形轉動時,會畫出一個覆蓋面積為0.9877的圓角正方形,比圓形多了\(0.9877-(π/4)=0.2023\),大約20%的掃地面積(註)!
 
因為這樣的特性,勒洛三角形機器人那類似三角形的「角」比圓形能夠多掃到牆角。研發人員還貼心地給它的角安上刷子,這樣一來,圓弧正方形觸及不到的小死角,就可以由刷子代勞。
 
掃地機器人的外觀絕對需要精美的工業設計,但在考慮美感的同時,運用數感增加工作效能,也是非常實用重要的。
掃地機器人參考報導:https://goo.gl/NmIfJf
 
#無理數編
註:此處討的是單位正方形的掃除面積,掃整個房間當然比單位正方形要大上許多,在相對空曠的地方,不管是圓形、五芒星掃地機器人都能清掃乾淨。真正凸顯差異的只在邊邊角角之處。

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